1.      Каким образом линеаризуются дифференциальные уравнения?

 

Геометрическая трактовка линеаризации. Изобразим графически нелинейную зависимость (рис. 2.1)

 

y(t) = F(x(t))  .                                        (2.1)

 

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация линеаризации

 

Текущие значения координат  y  и  x  запишем как

 

y(t) = y0 + Dy(t);

x(t) = x0 + Dx(t);

 

где y0, x0 – установившиеся значения, Dy, Dx – их отклонения от установившихся значений.

В рабочей точке ( x0,  y0), определяемой установившимися значениями, заменим участок кривой касательной и получим прямую, описываемую линейным уравнением

 

y = yн + kx ,

 

где yн  -  постоянная величина;

- коэффициент, определяемый наклоном касательной к кривой в рабочей точке ( x0, y0).

Для исключения из уравнения величины yн  перенесем начало координат в рабочую точку. Тогда получим линейное уравнение, связывающее между собой отклонения переменных величин от своих установившихся значений, вида

Dy(t) = k Dx(t) .                                     (2.2)

 

Таким образом, линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой на касательную к ней прямую в точке установившегося режима. Очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньше величины отклонений координат элемента от своих установившихся значений в исследуемом динамическом процессе.

 В общем случае при составлении уравнения динамики элемента системы (рис. 2.2), имеющего входную величину x, выходную - y и внешнее воздействие f, получается динамическое уравнение произвольного нелинейного вида

                             (2.3)

       

Рис. 2.2. Элемент автоматической системы

 

Допустим, что установившиеся значения переменных y, x и f являются постоянными величинами y0, x0, f0, характеризующими установившийся режим и определяющими рабочую точку элемента.

Тогда для текущих координат можно записать

 

y(t) = y0 + Dy(t);

x(t) = x0 + Dx(t);

f(t) = f0 + Df(t);

 

где Dy, Dx, Df – отклонения y, x, f от своих установившихся значений.

Из (2.3) получается  уравнение статики

 

F(y0) = G(x0, f0) .                                    (2.4)

 

Для линеаризации уравнения (2.3) последнее раскладывают в ряд Тейлора по степеням отклонений всех координат элемента от своих установившихся значений. Тогда уравнение (2.3) примет вид

 

+ (члены высшего порядка малости).                                                  (2.5)

 

Вычитая из последнего уравнения (2.5) уравнение статики (2.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики элемента

   (2.6)

 

Здесь нижний индекс “0” обозначает, что значения частных производных должны быть определены в точке установившегося режима элемента.

Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.3), описывает тот же динамический процесс в том же элементе автоматической системы. Сравним (2.3) и (2.6):

уравнение (2.3) - точное, а уравнение (2.6) - приближенное, ибо в процессе его получения были отброшены малые высшего порядка;

уравнение (2.3) записано относительно переменных величин элемента, а уравнение (2.6) - относительно отклонений переменных от своих установившихся значений;

уравнение (2.3) - нелинейное, уравнение (2.6) - линейное относительно отклонений, коэффициенты которого определяются рабочей точкой элемента, то есть его установившимися значениями; при смене рабочей точки эти коэффициенты изменяются.

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (2.6) называется дифференциальным уравнением элемента в отклонениях.

Ограничение метода. Данным методом могут быть линеаризованы уравнения элементов, статические характеристики которых в окрестности точки установившегося режима гладкие, то есть их производные непрерывны и однозначны. Не могут быть линеаризованы уравнения элементов с негладкими, неоднозначными и имеющими разрывы в окрестности точки установившегося режима статическими характеристиками.

Замечание: в дальнейшем будем использовать только линеаризованные уравнения, записанные относительно отклонений от установившихся значений переменных, однако для сокращения записи знак “D” будем опускать.

Пример. Электромагнитный момент M электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением определяется нелинейным уравнением

M = c Iя Iв,

где c - постоянный коэффициент;

Iя, Iв - токи, протекающие в цепях якоря и возбуждения.

Решение. Линеаризуем выражение для M разложением в ряд Тэйлора и учетом лишь линейных составляющих ряда. В результате получим соотношение для малых приращений

 

(¶M/¶M)0 DM = (¶(c Iя Iв)/¶Iя)0 DIя + (¶(c Iя Iв)/¶Iв)0 DIв.

 

Откуда следует

DM = c Iв0  DIя + c Iя0 DIв .

Здесь нижним индексом “0” обозначены установившиеся значения переменных, относительно которых изменяются их приращения.