1.      Понятие устойчивости систем управления. Устойчивость линейных систем. Необходимое и достаточное условия устойчивости линейных систем.

 

Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.

Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних воздействий, которые вывели ее из этого состояния. Данное определение является физическим определением понятия устойчивости.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, или эти корни на плоскости комплексного переменного были расположены слева от мнимой оси (рис.5.5).

 

Рис. 5.5. Комплексная плоскость корней характеристического уравнения

 

Если корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической. Если остальные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части, то система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной.

Если хотя бы один из корней лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.

Вычисление корней характеристического уравнения высокого порядка затруднительно. Поэтому для исследования устойчивости систем разработаны критерии (правила), позволяющие судить о расположении корней на комплексной плоскости без их расчета. Прежде чем воспользоваться для оценки устойчивости тем или иным критерием, следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости.

 Необходимым, но недостаточным условием устойчивости системы является  положительность (отрицательность) всех коэффициентов характеристического уравнения системы

,                  (5.6)

т.е. соблюдение условия ai > 0  для всех i от 0 до n,  где n - порядок системы.