1.      Корневой метод оценки качества управления.

 

Качество процесса управления, как отмечалось в разделе 6.5, определяется расположением корней характеристического уравнения замкнутой системы. В связи с этим разработаны различные корневые методы расчета систем управления. Одним из них является прямой корневой метод синтеза, называемый модальным методом синтеза системы по заданному качеству процесса управления [2]. Вводится целевая функция, которая является функциональным выражением поставленной цели при синтезе системы. Обычно целевую функцию представляют как ограниченную скалярную действительную непрерывно дифференцируемую функцию F = F(q1, q2, ..., qn) искомых параметров  qi (i = 1, 2, ..., n) регулятора системы.

При этом общую задачу рассматривают как выбор вектора параметров  q = [q1, q2, ..., qn]T , оптимизирующего в допустимых пределах значение целевой функции на допустимом множестве Qn.

Однако часто при проектировании системы не проводят подобную оптимизацию, а исходят из удовлетворения заданным требованиям.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы, опираясь на ряд качественных показателей системы, найти соответствующее расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы    l1, l2, ..., ln на комплексной плоскости, а затем найти параметры регулятора, обеспечивающие заданное расположение указанных корней. При этом исходными качественными показателями могут быть, например, вид переходного процесса, время регулирования, колебательность, интегральная квадратичная ошибка и так далее. Указанные требования на одновременное выполнение различных качественных показателей создаваемой системы приводят к задаче выделения на комплексной плоскости соответствующих областей допустимого расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы D(l) = 0 (10.26) переписывается в виде

 

ln +a1ln-1 + a2ln-2 + ... + an-1l +an = 0.           (10.61)

 

Каждый коэффициент ai (i = 1, 2, ..., n) является функцией от параметров объекта управления и регулятора, то есть

 

ai = ai(q),   i = 1, 2, ..., n,                        (10.62)

 

где q = [q1, q2, ..., qn]T  - искомый параметрический вектор.

Для решения задачи модального синтеза ставится в соответствии с (10.61) и (10.62) желаемый характеристический многочлен

 

D*(l) = ( l - l1* )´( l - l2* ) ... ( l - ln* );

 

после раскрытия скобок получаем

 

D*(l) = ln +b1ln-1 + b2ln-2 + ... + bn-1l +bn,       (10.63)

 

где  li* - желаемые значения корней характеристического полинома, лежащие в заданных пределах:

 

li’ £ li* £ li”,     i = 1, 2, ..., n,

bi =  bi( l1* , l2*, ..., ln* ).                       (10.64)

 

Приравнивая соответствующие коэффициенты (10.62) и (10.64), получаем

ai(q) = bi( l1* , l2*, ..., ln* ),    i = 1, 2, ..., n.        (10.65)

 

Таким образом, имеем систему n уравнений с n неизвестными, решая которую непосредственно или численными методами, можно определить все n значений параметров вектора q = [q1, q2, ..., qn]T.

Очевидно, что независимое назначение всех коэффициентов характеристического уравнения ai (i = 1, 2, ..., n) возможно лишь при числе корректирующих параметров не менее n. Это обстоятельство делает возможным предписанное назначение желаемых корней li (i = 1, 2, ..., n).